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继续履行租房合同如下：租赁期限届满承租人要求续租的可以与出租人协商续期，重新签订租房合同；双方均表示不续签合同但仍继续保持租赁关系的原合同继续有效，视为不定期租赁。法律依据：《民法典》第七百三十三条租赁期限届满，承租人应当返还租赁物。返还的租赁物应当符合按照约定或者根据租赁物的性质使用后的状态。第七百三十四条租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。租赁期限届满，房屋承租人享有以同等条件优先承租的权利。

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关于租赁合同到期未续签，租金的追讨问题：出租人可以自行和承租人协商处理，可以向承租人发函催收，或者委托律师发送律师函催收，可以申请人民调解委员会调解，也可以直接向人民法院起诉解决。另外，《民法典》第七百二十二条规定，承租人无正当理由未支付或者迟延支付租金的，出租人可以请求承租人在合理期限内支付。起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。对于自己的主张，诉讼当事人有义务提供证据证明，举证不能的，由自己承担不利后果。法律依据：《民法典》第七百二十二条承租人无正当理由未支付或者迟延支付租金的，出租人可以请求承租人在合理期限内支付；承租人逾期不支付的，出租人可以解除合同。《民事诉讼法》第一百二十条起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。

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合同到期仍继续履行的出租人不催还租赁物有责任。租赁期限届满双方未办理租房续期的租房合同失效、租赁关系终止，承租人应当及时返还租赁物；未办理租房续期但双方仍保持履行状态的视为不定期租赁，双方可以随时解除房屋租赁关系。法律依据：《民法典》第七百三十四条租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。租赁期限届满，房屋承租人享有以同等条件优先承租的权利。第七百三十条当事人对租赁期限没有约定或者约定不明确，依据本法第五百一十条的规定仍不能确定的，视为不定期租赁；当事人可以随时解除合同，但是应当在合理期限之前通知对方。

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